Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+

1

x

，g（x）=x²+x-b，y=f（x）圖象恒過定點(diǎn)P，且P點(diǎn)既在y=g（x）圖象上，又在y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象上．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)h（x）=

f(x)

g(x)

，求證：當(dāng)x＞0且x≠1時，h（x）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x=1時，f（1）=0，所以P（1，0），分別代入f′（x），g（x）求得a，b；
（2）由（1），f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

=-

(x-1)2

x2

，g（x）=x²+x-2，分x∈（0，1）時，x∈（1，+∞）時，分別討論f（x），g（x）的正負(fù)，得出h（x）＜0．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

-1-

1

x2

，
當(dāng)x=1時，f（1）=0，∴P（1，0），
代入f′（x）=

a

x

-1-

1

x2

，得a=2，
代入g（x）=x²+x-b，b=2，
（2）由（1），f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

=-

(x-1)2

x2

，
g（x）=x²+x-2，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，f（x）＞f（1）=0，
易知g（x）＜0，故h（x）＜0．
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，f（x）＜f（1）=0，
易知g（x）＞0，故h（x）＜0．
綜上所述，當(dāng)x＞0且x≠1時，h（x）＜0．

點(diǎn)評：本題考查單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)故選的應(yīng)用，函數(shù)與不等式的綜合，分類討論的思想和能力．