Question

【題目】如圖，已知直線和直線，射線的一個法向量為，點為坐標原點，，，點、分別是直線、上的動點，直線和之間的距離為2，于點，于點；

（1）若，求的值；

（2）若，求的最大值；

（3）若，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先由得到射線的方程為：，根據(jù)點到直線距離公式求出，，由勾股定理求出，，進而可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，得到，設、，得到，，由，結(jié)合柯西不等式得到，進而可求出結(jié)果；

（3）先由題意，作出點關于直線的對稱點，得到，設，

得到，進而可求出結(jié)果.

（1）因為，所以，所以射線的方程為：；

所以，，所以；

又直線，所以，所以，

因此；

（2）因為，直線和之間的距離為2，所以，即；

設、，因為，

則，，

所以，

又，所以，

因為，

所以，

故的最大值為；

（3）因為，所以，，如圖所示：

作出點關于直線的對稱點，則，

設，

所以，

同理，可由對稱性得：當且僅當為時，取得最小值，

因此的最小值為.