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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

【題目】對于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).

（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對任意，都有，且；又數(shù)列滿足.

（1）求證：是數(shù)列的母函數(shù)；

（2）求數(shù)列的前項和.

（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項和為，求證： .

【答案】(Ⅰ)(1)證明見解析；(2) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)(1)由題意結(jié)合母函數(shù)的定義即可證得結(jié)論；

(2)由題意錯位相減可得；

(Ⅱ)由題意結(jié)合不等式的特點即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）(1)由題知，且

是數(shù)列的母函數(shù)；

(2) 由(1) 知：是首項和公差均為的等差數(shù)列，故.

①

②

兩式相減得： .

（Ⅱ）由題知：， .

從而是以為首項，為公比的等比數(shù)列

又

故當時

練習冊系列答案

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