Question

2．已知a∈R，函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+alnx-3x，g（x）=-x²+8x，且x=1是函數f（x）的極大值點．
（1）求a的值．
（2）如果函數y=f（x）和函數y=g（x）在區(qū)間（b，b+1）上均為增函數，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因為函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+alnx-3x$（x＞0），求出導函數，利用x=1是函數f（x）的極大值點．求出a．然后驗證即可．
（2）求出函數g（x）的單調遞增區(qū)間．又由（1）可知函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，1），（2，+∞），列出不等式組，求解b 的范圍即可．

解答 解：（1）因為函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+alnx-3x$（x＞0）
所以f′（x）=x+$\frac{a}{x}$-3，（x＞0）----------------------（2分），
又因為x=1是函數f（x）的極大值點．
所以${f^′}（1）=\frac{{{1^2}-3×1+a}}{1}=0$，解得a=2---------------------（4分）
檢驗：當a=2時，${f^′}（x）=\frac{{{x^2}-3x+2}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{x-2}）}}{x}$（x＞0）
當x∈（0，1），（2，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，
所以x=1是函數f（x）的極大值點，a=2符合題意．----------------------（6分）
（2）g（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16
所以函數g（x）的單調遞增區(qū)間是（4，+∞）----------------------（8分）
又由（1）可知函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，1），（2，+∞）
所以依題意得$\left\{{\begin{array}{l}{b≥0}\\{b+1≤1}\\{b+1≤4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{b≥2}\\{b+1≤4}\end{array}}\right.$----------------------（10分）
解得 b=0或  2≤b≤3
所以實數b的取值范圍是{0}∪[2，3]----------------------（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力．