Question

【題目】已知函數(shù)，.現(xiàn)有如下兩種圖象變換方案：

方案1：將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度；

方案2：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變.

請(qǐng)你從中選擇一種方案，確定在此方案下所得函數(shù)的解析式，并解決如下問(wèn)題：

（1）畫(huà)出函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；

（2）請(qǐng)你研究函數(shù)的定義域，值域，周期性，奇偶性以及單調(diào)性，并寫(xiě)出你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1），圖象見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律可知無(wú)論在何種方案下所得的函數(shù)都是，

（1）作出函數(shù)在這一周期上的圖象：

（2）利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解：方案1：將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變得到，再將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，即

方案2：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變得到，即

所以，無(wú)論在何種方案下所得的函數(shù)都是，

（1）如圖，是函數(shù)在這一周期上的圖象：

（2）函數(shù)

定義域：；值域：；周期：；

奇偶性：因?yàn)?/span>，，所以不具有奇偶性．

單調(diào)性：令，

解得，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增；

同理可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，