Question

17．設(shè)拋物線C：x²=4y的焦點為F，已知點A在拋物線C上，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交此拋物線的準(zhǔn)線于B，D兩點，且A、B、F三點在同一條直線上，則直線AB的方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．

Answer 1

分析 設(shè)A（m，$\frac{1}{4}$m²），F(xiàn)（0，1），由點A，B關(guān)于點F對稱得B的坐標(biāo)，代入準(zhǔn)線方程，求得m，進(jìn)而得到直線AB的方程．

解答 解：拋物線C：x²=4y的焦點為F（0，1），
設(shè)A（m，$\frac{1}{4}$m²），
由題意可得，A，B關(guān)于F對稱，
可得B（-m，2-$\frac{1}{4}$m²），
代入準(zhǔn)線方程y=-1，可得2-$\frac{1}{4}$m²=-1，
解得m=±2$\sqrt{3}$，
可得AB的斜率為k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有直線AB的方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．
故答案為：y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線和準(zhǔn)線的方程的運用，考查中點坐標(biāo)公式和直線的方程的求法，屬于中檔題．