Question

設f（x）=x²+px+q（p，q∈R），證明：
（1）|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于

1

2

；
（2）若|p|+|q|＜1，則f（x）=0的兩個根的絕對值都小于1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，首先假設命題錯誤，即假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，進而可得a：|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|＜2，，再分析，|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|三項的和，可得矛盾，即可證原命題成立．
（2）假設f（x）=0的兩根x₁，x₂的絕對值不都小于1，不妨設|x₁|≥1，那么由韋達定理，有|p|+|q|≥1這與題設矛盾，故假設不成立，即原命題得證．

解答：解（用反證法）
（1）假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，則有：|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|＜

1

2

+2×

1

2

+

1

2

=2，
又，|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|≥f（1）-2f（2）+f（3）=（1+p+q）-2（4+2p+q）+（9+3p+q）=2         （ii）
（i）與（ii）矛盾，故假設不成立，即原命題成立．                 …（5分）
（2）假設f（x）=0的兩根x₁，x₂的絕對值不都小于1，不妨設|x₁|≥1，那么由韋達定理，有
|p|=|-（x₁+x₂）|=|x₁+x₂|≥|x₁|-|x₂|≥1-|x₂||q|=|x₁x₂|=|x₁|•|x₂|≥|x₂|
兩式分邊相加，得|p|+|q|≥1
這與題設矛盾，故假設不成立，即原命題得證．                          …（5分）

點評：點評：本題考查反證法的運用，注意用反證法時，需要首先否定原命題，特別是帶至少、最多詞語一類的否定．