Question

7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin$\frac{A+B}{2}$+sin$\frac{C}{2}$=$\sqrt{2}$．
（1）判斷三角形的形狀；
（2）若三角形ABC的周長是16，求三角形面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由誘導公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sin（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1，結合范圍$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），即可解得C=$\frac{π}{2}$．
（2）直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因為L=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，兩次運用均值不等式即可求解△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）∵sin$\frac{A+B}{2}$+sin$\frac{C}{2}$=sin$\frac{π-C}{2}$+sin$\frac{C}{2}$=cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{C}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
∴sin（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1，
∵0＜C＜π，$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得：C=$\frac{π}{2}$．
故三角形為直角三角形．
（2）設直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則直角三角形的面積S=$\frac{1}{2}$ab．
由已知，得a+b+c=16，∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=16，
∴16=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{16}{2+\sqrt{2}}$=16-8$\sqrt{2}$，
∴ab≤（16-8$\sqrt{2}$）²=384-256$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤192-128$\sqrt{2}$，當且僅當a=b=16-8$\sqrt{2}$時，S取最大值．

點評 本題考查解三角形，分類討論思想的應用，利用均值不等式解決實際問題時，列出有關量的函數(shù)關系式或方程式是均值不等式求解或轉(zhuǎn)化的關鍵．