Question

在某次抽獎活動中，一個口袋里裝有4個白球和4個黑球，所有球除顏色外無任何不同，每次從中摸出2個球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎．
（1）求僅一次摸球中獎的概率；
（2）求連續(xù)2次摸球，恰有一次不中獎的概率；
（3）記連續(xù)3次摸球中獎的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）利用每次從中摸出2個球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎，可求僅一次摸球中獎的概率；
（2）連續(xù)2次摸球，恰有一次不中獎，可能第1次不中獎，也可能第2次不中獎，由此可求概率；
（3）確定連續(xù)3次摸球中獎的次數(shù)ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答：解：（1）設(shè)僅一次摸球中獎的概率為P₁，則P₁=

2 C 2 4

C 2 8

=

3

7

…（3分）
（2）設(shè)連續(xù)2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中獎的概率為P₂，則
P₂=

C

1 2

(1-P1)P1=

24

49

…（7分）
（3）ξ的取值可以是0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-P₁）³=

64

343

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(1-P1)2P1=

144

343

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(1-P1)P12=

108

343

，
P（ξ=3）=

P

3 1

=

27

343

所以ξ的分布列如下表

ξ	0	1	2	3
P	64 343	144 343	108 343	27 343

…（12分）
∴Eξ=0•

64

343

+1•

144

343

+2•

108

343

+3•

27

343

=

441

343

…．（14分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．