Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2（a-1）x+2
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜m的解集為{x|-1＜x＜2}，求實數(shù)a和m的值；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）＜4-a（a∈R）．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由于關(guān)于x的不等式f（x）＜m的解集為{x|-1＜x＜2}，可得-1，2是方程ax²-2（a-1）x+2=m的兩個實數(shù)根，且a＞0．利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）通過對a分類討論比較兩個實數(shù)根的大小，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的不等式f（x）＜m的解集為{x|-1＜x＜2}，
∴-1，2是方程ax²-2（a-1）x+2=m的兩個實數(shù)根，且a＞0．
∴

-1+2= 2(a-1) a -1×2= 2-m a

且a＞0，解得a=2，m=6．
∴實數(shù)a=2，m=6；
（2）關(guān)于x的不等式：f（x）＜4-a（a∈R）化為ax²-2（a-1）x+a-2＜0．
①當(dāng)a=0時，上述不等式化為2x-2＜0，解得x＜1，其解集為{x|x＜1}．
②當(dāng)a＞0時，上述不等式化為(x-

a-2

a

)(x-1)＜0，
∵

a-2

a

=1-

2

a

＜1，∴其解集為{x|

a-2

a

＜x＜1}．
③當(dāng)a＜0時，上述不等式化為(x-

a-2

a

)(x-1)＞0，
∵

a-2

a

=1-

2

a

＞1，∴其解集為{x|x＜1或x＞

a-2

a

}．
綜上可知：①當(dāng)a=0時，其解集為{x|x＜1}．
②當(dāng)a＞0時，其解集為{x|

a-2

a

＜x＜1}．
③當(dāng)a＜0時，其解集為{x|x＜1或x＞

a-2

a

}．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法與相應(yīng)的一元二次方程的實數(shù)根的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．