【題目】如圖,已知橢圓的離心率為,右準線方程為、分別是橢圓的左、右頂點,過右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于,兩點.

1)求橢圓的標準方程.

2)記、的面積分別為、,若,求的值;

3)設(shè)線段的中點為,直線與右準線相交于點,記直線、、的斜率分別為、,求的值.

【答案】1;(2;(3.

【解析】

1)設(shè)橢圓的焦距為,根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組,進而可求出的值,由此可得出橢圓的標準方程;

2)設(shè)點,,根據(jù)題中三角形面積的比值,可得出,再由點、在橢圓上,可求出點的坐標,即可求出直線的斜率;

3)依題意可知,點、在橢圓上,根據(jù)點差法、三點共線、直線方程、斜率公式,化簡整理即可得出的值.

1)設(shè)橢圓的焦距為,

依題意,,且,解得,,故.

所以橢圓的標準方程為;

2)設(shè)點,.

據(jù)題意,,即,整理可得,所以.

代入坐標,可得,即.

又點在橢圓上,所以,解得.

所以直線的斜率;

3)依題意,點、在橢圓上,

所以,兩式相減,得

,所以,即

所以直線的方程為,令,得,即.

所以.

又直線的方程為,與橢圓聯(lián)立方程組,

整理得

所以,得,.

所以點的坐標為.

同理,點的坐標為.

又點、三點共線,

所以,整理得,

依題意,,,故.

可得,,即.

所以.

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