【題目】如圖,有一塊邊長(zhǎng)為1(百米)的正方形區(qū)域ABCD.在點(diǎn)A處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈,其照射角∠PAQ始終為45°(其中點(diǎn)P,Q分別在邊BC,CD上),設(shè)BP=t.
(I)用t表示出PQ的長(zhǎng)度,并探求△CPQ的周長(zhǎng)l是否為定值;
(Ⅱ)設(shè)探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S(平方百米),求S的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由BP=t,得CP=1﹣t,0≤t≤1,
設(shè)∠PAB=θ,
則∠DAQ=45°﹣θ,
DQ=tan(45°﹣θ)=,CQ=1﹣=,
∴PQ===
∴l(xiāng)=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2,是定值
(Ⅱ)S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1×1﹣×1×t﹣×1×,
=1﹣t﹣=1﹣t﹣(﹣1+),
=1+,
=2﹣(+),
由于1+t>0,
則S=2﹣(+)≤2﹣2=2﹣,當(dāng)且僅當(dāng)=,即t=﹣1時(shí)等號(hào)成立,
故探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S最多為2﹣平方百米.
【解析】(Ⅰ)由BP=t,得CP=1﹣t,0≤t≤1,設(shè)∠PAB=θ,則∠DAQ=45°﹣θ,分別求出CP,CQ,PQ即可得到求出周長(zhǎng)l=2,問題得以解決;
(Ⅱ)根據(jù)S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ得到S=2﹣(+),根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可求出S的最大值.
【考點(diǎn)精析】利用基本不等式在最值問題中的應(yīng)用對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知用基本不等式求最值時(shí)(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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