Question

3．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧$\widehat{DE}$上變動(dòng)（如圖所示），若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{ED}$+μ$\overrightarrow{AF}$，其中λ，μ∈R．則2λ-μ的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用參數(shù)進(jìn)行表示，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{ED}$+μ$\overrightarrow{AF}$，
∴（cosα，sinα）=λ（-1，1）+μ（1.5，0.5），
∴cosα=-λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，
∴λ=$\frac{1}{4}$（3sinα-cosα），μ=$\frac{1}{2}$（cosα+sinα），
∴2λ-μ=sinα-cosα=$\sqrt{2}$sin（α-45°）
∵0°≤α≤90°，
∴-45°≤α-45°≤45°，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（α-45°）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-1≤$\sqrt{2}$sin（α-45°）≤1
∴2λ-μ的取值范圍是[-1，1]．
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確利用坐標(biāo)系是關(guān)鍵．