Question

8．記函數(shù)f（n）=1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$（n∈N₊），求證：當(dāng)n為偶數(shù)時，方程f_n（x）=0沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)n為奇數(shù)時，方程f_n（x）=0有唯一實(shí)數(shù)根x_n，且x_n+2＜x_n．

Answer 1

分析 構(gòu)造輔助函數(shù)F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$）．當(dāng)n為偶數(shù)時求導(dǎo)得到
F_n′（x）=-e^-x•$\frac{1}{（2k-1）!}{x}^{2k-1}$，從而得到F_n（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
求得F_n（x）_max=F_n（0）=0后說明n為偶數(shù)時，F(xiàn)_n（x）=0無解，從而方程f_n（x）=0沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$）．由其導(dǎo)數(shù)小于0說明y=F_n（x）為R上的減函數(shù)，而
F（1）＞0，F(xiàn)（-1）＜0，說明F_n（x）=0有唯一解，從而方程f_n（x）=0有唯一實(shí)數(shù)根x_n，且x_n+2＜x_n．

解答 證明：當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$）．
設(shè)n=2k（k∈N₊），則F_n′（x）=-e^-x•$\frac{1}{（2k-1）!}{x}^{2k-1}$，
當(dāng)x＜0時，F(xiàn)_n′（x）＞0，當(dāng)x＞0時，F(xiàn)_n′（x）＜0，
∴F_n（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴F_n（x）_max=F_n（0）=0，
∴n為偶數(shù)時，F(xiàn)_n（x）=0無解，從而方程f_n（x）=0沒有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$）．
設(shè)n=2k+1（k∈N₊），則F_n′（x）=-e^-x•$\frac{1}{（2k）!}{x}^{2k}$＜0，
∴y=F_n（x）為R上的減函數(shù)，而F（1）＞0，F(xiàn)（-1）＜0，
∴F_n（x）=0有唯一解，從而方程f_n（x）=0有唯一實(shí)數(shù)根x_n，且x_n+2＜x_n．

點(diǎn)評 考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)且應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求解，注意函數(shù)和方程之間的關(guān)系，是有一定難度題目．