Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=an+2ⁿ
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=n（1+a_n），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n+1=an+2ⁿ，求出a₂=a₁+2，a₃=a₂+2²，a₄=a₃+2³，a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2），然后各式相加即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=n（1+a_n），求出b_n=n•2ⁿ，S_n=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ和2S_n=2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，兩式相減即可求出S_n．
解答：解：（1）∵a₂=a₁+2，a₃=a₂+2²，a₄=a₃+2³，
a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2）
相加，得a_n=a₁+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，
又a₁=1符合上式
∴a_n=2ⁿ-1，
（2）b_n=n•2ⁿ，S_n=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，
2S_n=2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=-（2+2²+2³++2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹ ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式和數(shù)列求和的知識(shí)點(diǎn)，解答本題求和時(shí)要會(huì)熟練掌握錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，本題難度一般．