Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R），討論該函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求定義域，再求導(dǎo)并化簡f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=

-(x-1)(ax+a-1)

x2

，從而分類討論以確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：∵f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=

-(x-1)(ax+a-1)

x2

，
①若a=0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
②若a＜0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
③若a＞0，f′（x）=

-a(x-1)(x+1- 1 a )

x2

；
（1）當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，1-

1

a

＜-1；
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，

1

a

-1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（

1

a

-1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1），（

1

a

-1，+∞）上是減函數(shù)，在（1，

1

a

-1）上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′（x）≤0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，1-

1

a

＞-1，
故當(dāng)x∈（0，

1

a

-1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

1

a

-1，1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，

1

a

-1），（1，+∞）上是減函數(shù)，在（

1

a

-1，1）上是增函數(shù)；
（4）當(dāng)a≥1時(shí)，1-

1

a

≥0，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，分類討論復(fù)雜，屬于難題．