Question

已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，且短軸長為4，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的焦點在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出橢圓長、短半軸長，根據(jù)已知條件列方程組，解出即可，注意焦點位置不確定；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消y得關于x的一元二次方程，用韋達定理及弦長公式可得關于m的方程，解出即可；
解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的長半軸長為a（a＞0），短半軸長為b（b＞0），
則2b=4①，②．                                              
聯(lián)立①②，解得a=4，b=2．                                                      
因為橢圓C的對稱軸為坐標軸，
所以橢圓C的方程為標準方程為．        
（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組，消去y，
得5x²+2mx+m²-16=0，
由題意，得△=（2m）²-20（m²-16）＞0，
且，
因為=，
所以，解得m=±2，
驗證知△＞0成立，
所以直線l的方程為x-y+2=0或x-y-2=0．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓標準方程的求解，考查解析幾何中常見公式如：弦長公式、韋達定理的應用，考查學生分析解決問題的能力．