Question

已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，且短軸長為4，離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的焦點在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點，且|AB|=

16

5

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出橢圓長、短半軸長，根據已知條件列方程組，解出即可，注意焦點位置不確定；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），用直線方程與橢圓方程聯立方程組，消y得關于x的一元二次方程，用韋達定理及弦長公式可得關于m的方程，解出即可；

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的長半軸長為a（a＞0），短半軸長為b（b＞0），
則2b=4①，

a2-b2

a

=

3

2

②．                                              
聯立①②，解得a=4，b=2．                                                      
因為橢圓C的對稱軸為坐標軸，
所以橢圓C的方程為標準方程為

x2

16

+

y2

4

=1或

y2

16

+

x2

4

=1．        
（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組

y=x+m y2 16 + x2 4 =1

，消去y，
得5x²+2mx+m²-16=0，
由題意，得△=（2m）²-20（m²-16）＞0，
且x1+x2=-

2m

5

，x1x2=

m2-16

5

，
因為|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+1

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

16

5

2

，
所以(-

2m

5

)2-

4(m2-16)

5

=(

16

5

)2，解得m=±2，
驗證知△＞0成立，
所以直線l的方程為x-y+2=0或x-y-2=0．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓標準方程的求解，考查解析幾何中常見公式如：弦長公式、韋達定理的應用，考查學生分析解決問題的能力．