Question

16．已知函數(shù)f（x）=1g$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+1}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性；
（2）當t∈R時．求證：1g$\frac{7}{10}$≤f（|t-$\frac{1}{6}$|-|t+$\frac{1}{6}$|）≤lg$\frac{13}{10}$．

Answer 1

分析 （1）容易求出該函數(shù)的定義域為R，根據(jù)單調(diào)性的定義，可設任意的x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，通過作差，通分，及提取公因式便可以得出$\frac{{{x}_{1}}^{2}-x+1}{{{x}_{1}}^{2}+1}＞\frac{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}+1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$，從而得出f（x₁）＞f（x₂），這便得出函數(shù)f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)；
（2）可去絕對值號便可求出|t$-\frac{1}{6}$|-$|t+\frac{1}{4}|$$∈[-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}]$，然后根據(jù)f（x）的單調(diào)性，便可得出$f（-\frac{1}{3}）≤f（|t-\frac{1}{6}|-|t+\frac{1}{6}|）≤f（\frac{1}{3}）$，這樣便可看出求出$f（-\frac{1}{3}）和f（\frac{1}{3}）$，便可得出要證明的結(jié)論．

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+1}=\frac{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}{{x}^{2}+1}＞0$；
∴該函數(shù)定義域為R；
$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+1}=1-\frac{x}{{x}^{2}+1}$，設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則：
$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}+1}{{{x}_{1}}^{2}+1}-\frac{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}+1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}-\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}=\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{2}}^{2}+1）（{{x}_{1}}^{2}+1）}$；
∵x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂；
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂∈[-1，1]；
∴1-x₁x₂＞0；
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}+1}{{{x}_{1}}^{2}+1}＞\frac{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}+1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$；
∴$lg\frac{{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}+1}{{{x}_{1}}^{2}+1}＞lg\frac{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}+1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減；
（2）證明：$|t-\frac{1}{6}|-|t+\frac{1}{6}|$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{t≤-\frac{1}{6}}\\{-2t}&{-\frac{1}{6}＜t＜\frac{1}{6}}\\{-\frac{1}{3}}&{t≥\frac{1}{6}}\end{array}\right.$；
∴$-\frac{1}{3}≤|t-\frac{1}{6}|-|t+\frac{1}{6}|≤\frac{1}{3}$；
∵f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)；
∴$f（\frac{1}{3}）≤f（|t-\frac{1}{6}|-|t+\frac{1}{6}|）≤f（-\frac{1}{3}）$，f（$\frac{1}{3}$）=$lg\frac{\frac{1}{9}-\frac{1}{3}+1}{\frac{1}{9}+1}=lg\frac{7}{10}$，$f（-\frac{1}{3}）=lg\frac{\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+1}{\frac{1}{9}+1}=lg\frac{13}{10}$；
∴$lg\frac{7}{10}≤f（|t-\frac{1}{6}|-|t+\frac{1}{6}|）≤lg\frac{13}{10}$．

點評 考查配方法出來二次式子，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差法比較大小的應用，作差后分式的通分，能提取公因式的提取公因式，以及減函數(shù)定義的運用．