Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點(diǎn)M在線段EF上．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACFE；．
（Ⅱ）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證BC⊥平面ACFE，可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明，而AC⊥BC，平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，滿足面面垂直的性質(zhì)定理；
（Ⅱ）取EF中點(diǎn)G，EB中點(diǎn)H，連接DG，GH，DH，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠DGH是二面角B-EF-D的平面角，在△DGH中，利用余弦定理即可求出二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

解答：解（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°∴AC⊥BC（3分）
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，
∴BC⊥平面ACFE（5分）
（Ⅱ）取EF中點(diǎn)G，EB中點(diǎn)H，連接DG，GH，DH∵DE=DF，
∴DG⊥EF∵BC⊥平面ACFE∴BC⊥EF
又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，
又∵GH∥FB，
∴EF⊥GH
∴BE²=DE²+DB²∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角．（8分）
在△BDE中，DE=

2

a，DB=

3

a，BE=

AE2+AB2

=

5

a∴∠EDB=90°，
∴DH=

5

2

a．（9分）
又DG=

5

2

a，GH=

2

2

a．（10分）
即二面角B-EF-D的平面角的余弦值為

10

10

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．