Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ），（0＜φ＜π）其圖象過點（

π

6

，

1

2

）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調增區(qū)間和對稱軸方程；
（2）將y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求g（x）的解析式及它在[

π

4

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）把點代入已知的式子，由三角函數(shù)的運算可得Φ的值，進而可得對稱軸；
（2）由圖象的變換可得g（x）的解析，由x的范圍，逐步求解可得值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ），（0＜φ＜π），
又因其圖象過點（

π

6

，

1

2

），
∴

1

2

=

1

2

sin（2×

π

6

）sinφ+cos²

π

6

cosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ），（0＜φ＜π）
解得Φ=

π

3

，∴f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）=

1

2

sin(2x+

π

6

)
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

可得x=

k

2

π+

π

6

，k∈z，即對稱軸為：x=

k

2

π+

π

6

，k∈z
（2）由（1）得φ=

π

3

，
∴f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）=

1

2

sin(2x+

π

6

)
∴g（x）=

1

2

sin(4x+

π

6

)
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴4x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]
∴sin（4x+

π

6

）∈[-1，

1

2

]，∴g（x）∈[-

1

2

，

1

4

]
故所求值域為：[-

1

2

，

1

4

]

點評：本題為三角函數(shù)的綜合運算，涉及三角函數(shù)的公式和對稱問題以及值域，屬中檔題．