Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=14，S₆=126，在數(shù)列中，b₁=a₁，b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=log₄a_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求使得

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜m對任意n∈N都成立的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由已知列式求得首項和公比，求出數(shù)列{a_n}的通項公式，然后利用累加法求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入c_n=log₄a_n，化簡后求出數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，然后利用裂項相消法求

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求得使得

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜m對任意n∈N都成立的實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），
由S₃=14，S₆=126，得

a1(1-q3) 1-q =14 a1(1-q6) 1-q =126

，解得：

a1=2 q=2

．
∴an=2n．
由b_n+1-b_n=a_n，得b_n+1-b_n=2ⁿ．
則b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-1+2^n-2+…+2¹+2
=

2(1-2n-1)

1-2

+2=2n（n≥2），
b₁=a₁=2適合上式，
∴bn=2n；
（2）c_n=log₄a_n=log42n=

n

2

，
則Tn=

1

2

(1+2+3+…+n)=

n(n+1)

4

，
∴

1

Tn

=

4

n(n+1)

=4(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

4n

n+1

．
∵f（n）=

4n

n+1

為增函數(shù)，
∴

4n

n+1

＜4，
則滿足

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜m對任意n∈N都成立的實數(shù)m的取值范圍是[4，+∞）．

點評：本題考查了等比數(shù)列的前n項和，考查了累加法求數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．