Question

已知△ABP的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線C：x²=4y上，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

PF

=3

FM

，
（Ⅰ）若|PF|=3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求△ABP面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義，利用條件|PF|=3，求建立方程關(guān)系即可求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，利用直線和拋物線聯(lián)立結(jié)合弦長(zhǎng)公式公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，利用導(dǎo)數(shù)即可求出三角形面積的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=-1，
設(shè)P（x₀，y₀），由拋物線的定義可知|PF|=y₀+1，解得y₀=2，
∴x₀=±2

2

，即P（2

2

，2）或P（-2

2

，2），
由

PF

=3

FM

，得M（-

2 2

3

，

2

3

）或M（

2 2

3

，

2

3

）．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2=4y

得x²-4kx-4m=0，
于是△=16k²+16m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
即AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k，2k²+m）
由

PF

=3

FM

，得（-x₀，1-y₀）=3（2k，2k²+m-1），
解得

x0=-6k y0=4-6k2-3m

，由

x

2 0

=4y0，得k²=-

1

5

m+

4

15

，
由△＞0，k＞0得-

1

3

＜m≤

4

3

，
又∵|AB|=4

1+k2

•

k2+m

，
點(diǎn)F到直線AB的距離d=

|m-1|

1+k2

，
∴S_△ABP=4S_△ABF=8|m-1|•

k2+m

=

16

15

3m3-5m2+m+1

，
設(shè)f（m）=3m³-5m²+m+1，（-

1

3

＜m≤

4

3

），
則f'（m）=9m²-10m+1=0，解得m₁=

1

9

，m₂=1，
于是f（m）在（-

1

3

，

1

9

）是增函數(shù)，在（

1

9

，1）上是減函數(shù)，在（1，

4

3

）上是增函數(shù)，
又f（

1

9

）=

256

243

＞f(

4

3

)，
∴當(dāng)m=

1

9

時(shí)，f（m）取得最大值

256

243

，此時(shí)k=±

55

15

，
∴△ABP面積的最大值為

256 5

135

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線和拋物線的位置關(guān)系，三角形面積公式，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，難度較大．