Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)過(guò)F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積；

(3)過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，分別交軌跡 C 于點(diǎn)A，B和M，N，設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分別為E，F.，求證：直線EF恒過(guò)一定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定點(diǎn)，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，用已知點(diǎn)和P點(diǎn)坐標(biāo)表示出，和，再代入等式，整理即得點(diǎn)P的軌跡C方程；（2）設(shè)A,B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F，可得直線L的方程，將L的方程和P的軌跡方程聯(lián)立，再由公式可得△AOB的面積；（3）設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，將直線與曲線方程聯(lián)立，因?yàn)橹本�與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則可用斜率k表示出點(diǎn)E，直線垂直，可知直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)D，則同理可得用k表示的F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式可求出直線EF的方程，再根據(jù)方程特點(diǎn)可證．

（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，

由，得，整理得點(diǎn)P的軌跡的方程為：

（2）設(shè)，由得：

，

（3）證明：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

由題意可設(shè)直線的方程為，

由，消去y得，

，∵直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，

，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由題知，直線的斜率為，同理可得F的坐標(biāo)為.

當(dāng)時(shí)，有.此時(shí)直線EF的斜率為：

∴直線EF的方程為，

整理得，恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線EF的方程為，也過(guò)點(diǎn).

綜上所述，直線EF恒過(guò)定點(diǎn).