Question

【題目】以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為（,a為常數(shù)）），過點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程滿足，（為參數(shù)）．

（1）求曲線C的普通方程和直線的參數(shù)方程；

（2）若直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)P在A、B之間），且，求和的值．

Answer 1

【答案】（1） 為參數(shù)）； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)，，化曲線C的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)點(diǎn)斜式得直線的普通方程，代入解得，即得參數(shù)方程.（2）將直線參數(shù)方程代入曲線C方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得，解得，再根據(jù)，利用韋達(dá)定理解得結(jié)果.

（1）由得，

又，，得，∴C的普通方程為，

∵過點(diǎn)、傾斜角為的直線的普通方程為，

由得

∴直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）；

（2）將代入，得，

依題意知

則上方程的根、就是交點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，∵，

由參數(shù)t的幾何意義知，得，

∵點(diǎn)P在A、B之間，∴，

∴，即，解得（滿足），∴，

∵，又，

∴．