Question

已知函數(shù)f（x）在R上有定義，對任何實數(shù)a＞0和任何實數(shù)x，都有f（ax）=af（x），
（Ⅰ）證明f（0）=0；
（Ⅱ）證明，其中k和h均為常數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)（Ⅱ）中的k＞0時，設(shè)g（x）=+f（x）（x＞0），討論g（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值。

Answer 1

 解：（Ⅰ）令x=0，則，
∵a＞0，
∴。
（Ⅱ）①令x=a，∵a＞0，
∴x＞0，則。
假設(shè)x≥0時，f（x）=kx（x∈R），則，而，
∴，即f（x）=kx成立；
②令x=-a，∵a＞0，∴x＜0，，
假設(shè)x＜0時，，
則，
而，
∴，即f（x）=hx成立；
∴成立。
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時，，，
令，得x=1或x=-1；
當(dāng)時，，∴g（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)時，，∴g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
所以當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)取得極小值，極小值為。