Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}+2k（1-{a}^{2}），x≥0}\\{{x}^{2}-2（1-{a}^{2}）x+（a-4）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，a∈R，若對任意非零實(shí)數(shù)x₁，存在非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁），則實(shí)數(shù)k的最小值（　�。�

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $-\frac{15}{2}$
• C． $-\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用函數(shù)的連續(xù)性，列出方程，通過方程有實(shí)數(shù)解，得到不等式求解k的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2k（1-{a}^{2}），x≥0}\\{{x}^{2}-2（1-{a}^{2}）x+（a-4）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，a∈R，
則x=0時(shí)，f（x）=2k（1-a²）．對任意非零實(shí)數(shù)x₁，存在非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁），
∴函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，即在x=0附近的左右兩側(cè)函數(shù)值相等．
（a-4）²=2k（1-a²），a∈R，所以k≠0，
即（2k+1）a²-8a+16-2k=0有實(shí)數(shù)解．
∴△=8²-4（2k+1）（16-2k）≥0．
整理得：2k²-15k≥0，解得k≥$\frac{15}{2}$．或k＜0，當(dāng)k＜0時(shí)，k沒有最小值．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的連續(xù)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．