Question

已知f(x)=3x²-x+m(x∈R),g(x)=ln x.

(1)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在x=x₀處的切線平行,求x₀的值;

(2)求當(dāng)曲線y=f(x)與y=g(x)有公共切線時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[,1]上的最值(用m表示).

Answer 1

解:(1)f′(x)=6x-1,g′(x)=(x>0),

由題意知6x₀-1=(x₀>0),

即6-x₀-1=0,

解得x₀=或x₀=-,

又∵x₀>0,

∴x₀=.

(2)若曲線y=f(x)與y=g(x)相切且在交點(diǎn)處有公共切線,

由(1)得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,

∴f()=g(),

∴-+m=ln ,

即m=--ln 2,

數(shù)形結(jié)合可知,m>--ln 2時(shí),f(x)與g(x)有公共切線,

故m的取值范圍是(--ln 2,+∞).

(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x²-x+m-ln x,

故F′(x)=6x-1-

=

=,

當(dāng)x變化時(shí),F′(x)與F(x)在區(qū)間[,1]上的變化情況如表:

x	[,)		(,1]
F′(x)	-	0	+
F(x)	↘	極小值	↗