如圖，設(shè)雙曲線
x2
4
-
y2
9
=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上．
（1）若∠F1MF2=
π
2
，求△F1MF2的面積；
（2）若∠F1MF2=
π
3
，求△F1MF2的面積是多少？若∠F1MF2=120°時(shí)，△F1MF2的面積是多少？
考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：1）設(shè)|F1M|=m，|F2M|=n，m＞n，利用雙曲線的定義可得m-n=4，由∠F1MF2=
π
2
，可得m2+n2=(2
13
)2=52，即可得出mn；
（2）①∠F1MF2=
π
3
，在△F1MF2中，由余弦定理可得(2c)2=m2+n2-2mncos
π
3
，即52=（m-n）2+mn，可得mn=36，利用△F1MF2的面積=
1
2
×mnsin
π
3
即可得出．
②∠F1MF2=
2π
3
，同理可得．
解答： 解：（1）設(shè)|F1M|=m，|F2M|=n，m＞n，
則m-n=4，
∵∠F1MF2=
π
2
，∴m2+n2=(2
13
)2=52，
∴2mn=36，
∴△F1MF2的面積=
1
2
×mn=9；
（2）①∠F1MF2=
π
3
，在△F1MF2中，由余弦定理可得(2c)2=m2+n2-2mncos
π
3
，即52=（m-n）2+mn，
∴mn=36，
∴△F1MF2的面積=
1
2
×mnsin
π
3
=
9
3
2
；
②∠F1MF2=
2π
3
，在△F1MF2中，由余弦定理可得（2c）2=m2+n2-2mncos
2π
3
，即52=（m-n）2+3mn，
∴mn=12，
∴△F1MF2的面積=
1
2
×mnsin
2π
3
=
9
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)任意θ，sin3θ=msinθsin（θ+
π
3
）sin（θ+
2π
3
）恒成立，則實(shí)數(shù)m的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（π-x）=f（x），且當(dāng)x∈（-
π
2
，
π
2
）時(shí)，f（x）=xsinx-cosx，則（　�。�
A、f（2）＜f（3）＜f（4）
B、f（3）＜f（4）＜f（2）
C、f（4）＜f（3）＜f（2）
D、f（4）＜f（2）＜f（3）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1=1，a4=8，在an和an+1之間插入bn個(gè)數(shù)得到一個(gè)新數(shù)列{cn}，已知b1=1，{cn}為等差數(shù)列
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

閱讀下面材料：
由曲線y=sinx，x∈[0，π]，直線x=0，x=π及x軸圍成的封閉圖形的面積為2；
由曲線y=sin2x，x∈[0，
π
2
]，直線x=0，x=
π
2
及x軸圍成的封閉圖形的面積為1；
由曲線y=sin3x，x∈[0，
π
3
]，直線x=0，x=
π
3
及x軸圍成的封閉圖形的面積為
2
3
；…
據(jù)此猜想：由曲線y=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0)，x∈[0，
π
ω
]，直線x=0，x=
π
ω
及x軸圍成的封
閉圖形的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0，c2=a2+b2）右支（在第一象限內(nèi)）上的任意一點(diǎn)．A1，A2分別是左右頂點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線PA1，PO，PA2的斜率分別為k1，k2，k3，則斜率之積k1k2k3的取值范圍是（　�。�
A、（0，
a3
b3
）
B、（0，
b3
a3
）
C、（0，
a3
c3
）
D、（0，
b3
c3
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的兩焦點(diǎn)與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：y=kx+m（k∈R），使得|
OA
+2
OB
|=|
OA
-2
OB
|成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點(diǎn)P為△ABC所在平面外任一點(diǎn)點(diǎn)D、E、F分別在射線PA、PB、PC上并且
PD
PA
=
PE
PB
=
PF
PC
求證平面DEF∥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
2x-3
ln(-x2+4x-3)
的定義域?yàn)?div id="hbby8ku" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 
．（用區(qū)間表示）

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