{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1＝0，a2＝3，an+1an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3，4，5，…，求a3．

答案：
解析：

　　解：由已知a4a3＝(a2＋2)(a1＋2)＝5×2＝10×1，

　　∴a3可能取值1，2，5，10．

　　若a3＝1，a4＝10，

　　從而a5＝，

　　顯然a5不是非負(fù)整數(shù)，與題設(shè)矛盾．

　　若a3＝10，則a4＝1，

　　從而a5＝60．

　　但再計(jì)算a6＝，也與題設(shè)矛盾．

　　∴a3＝2，a4＝5．(或a3＝5，a4＝2a5N*，舍去)

　　點(diǎn)評(píng)：本例用歸納、猜想、證明的思想方法來解決．已給出a1、a2，但遞推式是關(guān)于連續(xù)四項(xiàng)的一個(gè)等式，若無其他條件一般是不能確定數(shù)列的，因an∈N，我可用整數(shù)知識(shí)及反證法推理來確定a3＝2，a4＝5．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a3；
（2）證明an=an-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1=0，a2=3，an=an-2+2，(n∈N*，n≥3)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an=n+(-1)n
an=n+(-1)n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1，an+2…的最小值記為Bn，dn=An-Bn．
（Ⅰ）若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意n∈N*，an+4=an），寫出d1，d2，d3，d4的值；
（Ⅱ）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），則{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無窮多項(xiàng)為1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷解析版） 題型：解答題

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，…的最小值記為Bn，dn=An－Bn.

(I)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n∈N*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；

(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列；

(III)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則{an}的項(xiàng)只能是1或2，且有無窮多項(xiàng)為1.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：北京 題型：解答題

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1，an+2…的最小值記為Bn，dn=An-Bn．
（Ⅰ）若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意n∈N*，an+4=an），寫出d1，d2，d3，d4的值；
（Ⅱ）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），則{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無窮多項(xiàng)為1．

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