Question

2008年奧運(yùn)會(huì)在中國舉行，某商場預(yù)計(jì)2008年從1日起前x個(gè)月，顧客對某種奧運(yùn)商品的需求總量p（x）件與月份x的近似關(guān)系是p(x)=

1

2

x(x+1)(39-2x)，(x∈N*且x≤12），該商品的進(jìn)價(jià)q（x）元與月份x的近似關(guān)系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．
（1）寫出今年第x月的需求量f（x）件與月份x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場需求，則此商場今年銷售該商品的月利潤預(yù)計(jì)最大是多少元？

Answer 1

分析：（1）由題意可得，第x個(gè)月的需求量等于第x個(gè)月的需求總量減去第x-1個(gè)月的需求總量，故當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=p（1），當(dāng)2≤x≤12時(shí)，f（x）=p（x）-P（x-1）；
（2）根據(jù)月利潤=該商品每件的利潤×月銷售量，列出關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最值求解即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=p（1）=37．（2分）
當(dāng)2≤x≤12時(shí)，f(x)=p(x)-p(x-1)=

1

2

x(x+1)(39-2x)-

1

2

(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x，(x∈N*且x≤12）（5分）
驗(yàn)證x=1符合f（x）=-3x²+40x，∴f（x）=-3x²+40x（x∈N*且x≤12）．（7分）
（2）該商場預(yù)計(jì)銷售該商品的月利潤為g（x）=（-3x²+40x）（185-150-2x）=6x³-185x²+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x³-185x²+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x²-370x+1400，令h'（x）=0，解得x=5，x=

140

9

（舍去）．（10分）
當(dāng)1≤x＜5時(shí)，h'（x）＞0；當(dāng)5＜x≤12時(shí)，h'（x）＜0．
∴當(dāng)x=5時(shí)，h（x）取最大值h（5）=3125．（12分）
∴當(dāng)x=5時(shí)，g（x）_max=g（5）=3125（元）．
綜上，5月份的月利潤最大是3125元．（14分）

點(diǎn)評：本題考查利用函數(shù)知識解決應(yīng)用題的有關(guān)知識．新高考中的重要的理念就是把數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到實(shí)際生活中，如何建模是解決這類問題的關(guān)鍵．同時(shí)要熟練地利用導(dǎo)數(shù)的知識解決函數(shù)的求最值問題．