Question

設(shè)函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在上的最大值和最小值；

（2）若在上為增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）最小值為，最大值為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）當時，,其導函數(shù)，易得當時，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上的最小值為，最大值為；

（2）由題得：在上恒成立，易證，若時，則，所以；若時，易證此時不成立.

(1)當時，, ，

令，則恒成立，

∴為增函數(shù)，

故當時，

∴當時，，∴在上為增函數(shù)，

又為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，

∴在上的最小值為，最大值為.

（2）由題意，在上恒成立.

（ⅰ）當時，對，恒有，此時，函數(shù)在 上為增函數(shù)，滿足題意；

（ⅱ）當時，令，，由得，

一定，使得，且當時，，在上單調(diào)遞減，此時，即，所以在為減函數(shù)，這與在為增函數(shù)矛盾.

綜上所述：.

考點：函數(shù)的最值；函數(shù)的恒成立問題.