Question

已知函數(shù)f（x）=

A

2

sinx+

3 A

2

cosx，且f（

π

6

）=3．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（θ）-f（-θ）=

3

，θ∈（0，

π

2

），求f（

π

3

-θ）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用兩角和差的正弦公式求得f（x）=3sin（x+

π

3

），再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由條件求得sinθ的值，可得cosθ 的值，再利用兩角和差的正弦公式，求得f（

π

3

-θ）的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=

A

2

sinx+

3 A

2

cosx=Asin（x+

π

3

），且f（

π

6

）=3=Asin

π

2

=A，∴f（x）=3sin（x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，求得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，故函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈z．
 （2）∵f（θ）-f（-θ）=

3

，θ∈（0，

π

2

），∴3sin（θ+

π

3

）-3sin（-θ+

π

3

）=

3

，化簡可得sinθ=

3

3

，∴cosθ=

6

3

，
∴f（

π

3

-θ）=3sin[（

π

3

-θ）+

π

3

]=3sin（

2π

3

-θ）=3（sin

2π

3

cosθ-cos

2π

3

sinθ）=3（

3

2

×

6

3

+

1

2

×

3

3

）=

3 2 + 3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．