Question

某家電專(zhuān)賣(mài)店在國(guó)慶期間設(shè)計(jì)一項(xiàng)有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，每購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電視，即可通過(guò)電腦產(chǎn)生一組3個(gè)數(shù)的隨機(jī)數(shù)組，根據(jù)下表兌獎(jiǎng)：

獎(jiǎng)次	一等獎(jiǎng)	二等獎(jiǎng)	三等獎(jiǎng)
隨機(jī)數(shù)組的特征	3個(gè)1或3個(gè)0	只有2個(gè)1或2個(gè)0	只有1個(gè)1或1個(gè)0
獎(jiǎng)金（單位：元）	5m	2m	m

商家為了了解計(jì)劃的可行性，估計(jì)獎(jiǎng)金數(shù)，進(jìn)行了隨機(jī)模擬試驗(yàn)，并產(chǎn)生了20個(gè)隨機(jī)數(shù)組，試驗(yàn)結(jié)果如下：
247，235，145，324，754，500，296，065，379，118，520，161，218，953，254，406，227，111，358，791．
（1）在以上模擬的20組數(shù)中，隨機(jī)抽取3組數(shù)，求至少有1組獲獎(jiǎng)的概率；
（2）根據(jù)以上模擬試驗(yàn)的結(jié)果，將頻率視為概率：
（i）若活動(dòng)期間某單位購(gòu)買(mǎi)四臺(tái)電視，求恰好有兩臺(tái)獲獎(jiǎng)的概率；
（ii）若本次活動(dòng)平均每臺(tái)電視的獎(jiǎng)金不超過(guò)85元，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：

分析：（1）利用對(duì)立事件的概率，即可求出隨機(jī)抽取3組數(shù)，至少有1組獲獎(jiǎng)的概率；
（2）（i）求出每購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電視獲獎(jiǎng)的概率，利用相互獨(dú)立事件概率公式，可求恰好有兩臺(tái)獲獎(jiǎng)的概率；
（ii）設(shè)ξ為獲得獎(jiǎng)金的數(shù)額，則ξ的可能取值為0，m，2m，5m，求出ξ的分布列，可得期望，利用本次活動(dòng)平均每臺(tái)電視的獎(jiǎng)金不超過(guò)85元，即可求m的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)“在以上模擬的20組數(shù)中，隨機(jī)抽取3組數(shù)，至少有1組獲獎(jiǎng)”為事件A，則
由數(shù)組知，沒(méi)中獎(jiǎng)的組數(shù)為12，∴P（A）=1-

C 3 12

C 3 20

=

46

57

，
（2）（i）由題意得，每購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電視獲獎(jiǎng)的概率為P=

8

20

=

2

5

，
設(shè)“購(gòu)買(mǎi)四臺(tái)電視，恰有兩臺(tái)獲獎(jiǎng)”為事件B，則P（B）=c

2 4

（

2

5

）²×（1-

2

5

）²=

216

625

（ii）設(shè)“購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電視獲一等獎(jiǎng)”為事件A₁，“購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電視獲二等獎(jiǎng)”為事件A₂，
“購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電視獲三等獎(jiǎng)”為事件A₃，
則P（A₁）=

1

20

，P（A₂）=

1

20

，P（A₃）=

3

10

，
設(shè)ξ為獲得獎(jiǎng)金的數(shù)額，則ξ的可能取值為0，m，2m，5m，故ξ的分布列為

ξ	0	m	2m	5m
P	3 5	3 10	1 20	1 20

∴Eξ=0+

3m

10

+

2m

20

+

5m

20

=

13m

20

由題意Eξ=

13m

20

≤85，得m≤

170

13

∴m的最大值為

170

13

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵