Question

某市高中結(jié)業(yè)考試數(shù)學(xué)和物理兩科，其考試合格指標(biāo)劃分為：分?jǐn)?shù)大于或等于85為合格，小于85為不合格．現(xiàn)隨機抽取這兩科各100位學(xué)生成績，結(jié)果統(tǒng)計如下：

分?jǐn)?shù)區(qū)間	（75，80]	（80，85]	（85，90]	（90，95]	（95，100]
數(shù)學(xué)	8	12	40	32	8
物理	7	18	40	29	6

（I）試分別估計數(shù)學(xué)和物理合格的概率；
（Ⅱ）抽取-位同學(xué)數(shù)學(xué)成績，若合格可得4個學(xué)分，若是不合格則扣除0.5個學(xué)分；抽取二位同學(xué)物理成績，若成績合格可得5個學(xué)分，若不合格則扣除1個學(xué)分．在（I）的前提下，
（i）記X為抽查1位同學(xué)數(shù)學(xué)成績和抽查1位同學(xué)物理成績所得的總學(xué)分，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（ii）求抽查5位同學(xué)物理成績所得的總學(xué)分不少于14個的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）結(jié)合所給的表格，把數(shù)學(xué)合格的人數(shù)除以100，可得數(shù)學(xué)合格的概率，把物理合格的人數(shù)除以100，可得物理合格的概率．．
（Ⅱ）（�。╇S機變量X的所有取值為9，4.5，3，-1.5，求出相應(yīng)的概率，可得隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（ii）根據(jù)抽查5位同學(xué)物理成績所得的總學(xué)分不少于14個，求出抽查5位同學(xué)物理分?jǐn)?shù)，合格人數(shù)，即可求抽查5位同學(xué)物理成績所得的總學(xué)分不少于14個的概率．

解答： 解：（Ⅰ）結(jié)合所給的表格可得數(shù)學(xué)合格的概率約為

40+32+8

100

=

4

5

，物理合格的概率約為

40+29+6

100

=

3

4

．
（Ⅱ）（�。╇S機變量X的所有取值為9，4.5，3，-1.5．則
P(X=9)=

4

5

×

3

4

=

3

5

； P(X=4.5)=

1

5

×

3

4

=

3

20

；P(X=3)=

4

5

×

1

4

=

1

5

； P(X=-1.5)=

1

5

×

1

4

=

1

20

．
所以，隨機變量X的分布列為：

X	9	4.5	3	-1.5
P	3 5	3 20	1 5	1 20

EX=9×

3

5

+4.5×

3

20

+3×

1

5

+(-1.5)×

1

20

=6.6．
（ⅱ）抽查5位同學(xué)物理分?jǐn)?shù)，合格n人，則不合格有5-n人，總學(xué)分為5n-（5-n）=6n-5個．
依題意，得5n-（5-n）≥14，解得n≥

19

6

．
所以n=4或n=5．
設(shè)“抽查5位同學(xué)物理分?jǐn)?shù)所獲得的學(xué)分不少于14分”為事件A，
則P(A)=

C

4 5

(

3

4

)4×

1

4

+(

3

4

)5=

81

128

．

點評：本題主要考查求離散型隨機變量的分布列，古典概率及其計算公式，屬于中檔題．