Question

3．設有兩個命題p：不等式$\frac{{e}^{x}}{4}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞a的解集為R；q：函數f（x）=-（7-3a）^x在R上是減函數，如果這兩個命題中有且只有一個真命題，那么實數a的取值范圍是（　�。�

• A． 1≤a＜2
• B． 2＜a≤$\frac{7}{3}$
• C． 2≤a＜$\frac{7}{3}$
• D． 1＜a≤2

Answer 1

分析 由基本不等式可得$\frac{{e}^{x}}{4}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥1，則命題p成立時，a＜1；若命題q：函數f（x）=-（7-3a）^x在R上是減函數成立，則a＜2，進而根據這兩個命題中有且只有一個真命題，可得實數a的取值范圍．

解答 解：$\frac{{e}^{x}}{4}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥2$\sqrt{\frac{{e}^{x}}{4}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=1，
若命題p：不等式$\frac{{e}^{x}}{4}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞a的解集為R成立，
則a＜1，
若命題q：函數f（x）=-（7-3a）^x在R上是減函數成立，
則7-3a＞1，解得：a＜2，
如果這兩個命題中有且只有一個真命題，
則$\left\{\begin{array}{l}a＜1\\ a≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a＜2\end{array}\right.$，
解得：1≤a＜2，
故選：A

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了基本不等式，指數函數的單調性等知識點，難度中檔．