Question

13．確定下式中的數(shù)系A(chǔ)，B，C，D：
（a+b+c）⁴=A（a⁴+b⁴+c⁴）+B（a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b）+C（a²bc+ab²c+abc²）+D（a²b²+b²c²+c²a²）．

Answer 1

分析 由條件利用二項(xiàng)式定理，求得A、B、C、D的值．

解答 解：由于（a+b+c）⁴表示4個(gè)因式（a+b+c）的乘積，故a⁴、b⁴、c⁴的系數(shù)都是1，故A=1．
由于在4個(gè)因式（a+b+c）中，有3個(gè)因式選a，第四個(gè)因式選b，即可得到含a³b的項(xiàng)，故a³b的系數(shù)為${C}_{4}^{3}$=4，
同理，a³c、b³a、b³c、c³a、c³b的系數(shù)都是4，故B=4．
由于在4個(gè)因式（a+b+c）中，有2個(gè)因式選a，一個(gè)因式選b，另一個(gè)因式選c即可得到含a²bc的項(xiàng)，故a²bc的系數(shù)為${C}_{4}^{2}$•${C}_{2}^{1}$=8，
同理，a²bc、ab²c、abc²的系數(shù)都是12，故C=12．
由于在4個(gè)因式（a+b+c）中，有2個(gè)因式選a，2個(gè)因式選b，即可得到含a²b²的項(xiàng)，故a²b²的系數(shù)為${C}_{4}^{2}$=6，
同理可得，a²b²、b²c²、c²a²的系數(shù)都是6，故D=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．