Question

17．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并滿(mǎn)足f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{2-x}）$，則f（6.5）=1．

Answer 1

分析 由f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$求出函數(shù)的周期，由周期性、偶函數(shù)的性質(zhì)將f（6.5）轉(zhuǎn)化為f（1.5），代入已知的解析式由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值．

解答 解：由f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$得，f（x+4）=$-\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期是4，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{2-x}）$，
∴f（6.5）=f（4+2.5）=f（2.5）=f（-4+2.5）
=f（-1.5）=f（1.5）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（2-1.5）$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的周期性、奇偶性的綜合應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．