Question

8．已知拋物線y²=4x與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線有相同的焦點(diǎn)求得c，根據(jù)AF⊥x軸，可判斷出|AF|的值和A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，求得離心率e．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)（1，0）和雙曲線的焦點(diǎn)相同，
∴c=1，
∵A是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且AF垂直于x軸，
設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，
∴|AF|=2，
∴A（1，2），
∵點(diǎn)A在雙曲線上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1$，
∵c=1，b²=c²-a²，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴e=$\frac{c}{a}$=1+$\sqrt{2}$，
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的問(wèn)題，屬于中檔題．