Question

8．（理科）在等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₇=65，a₃a₅=64，且a_n+1＜a_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若T_n=lga₂+lga₄+…+lga_2n，求T_n的最大值及此時n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列性質(zhì)可知a₁a₇=a₃a₅=64，進(jìn)而可知a₁=64、a₇=1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）通過a_n=2^7-n可知a_2n=2^7-2n，利用對數(shù)的性質(zhì)計算可知T_n=[-（n-3）²+9]lg2，通過配方即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q．
由等比數(shù)列性質(zhì)可知：a₁a₇=a₃a₅=64，
又∵a₁+a₇=65，a_n+1＜a_n，
∴a₁=64，a₇=1，
∵64q⁶=1，
∴q=$\frac{1}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$（舍），
∴a_n=64•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2^7-n；
（2）∵a_n=2^7-n，
∴a_2n=2^7-2n，
∴T_n=lga₂+lga₄+…+lga_2n
=lg（a₂•a₄•…•a_2n）
=lg2^{5+3+1+…+（7-2n）}
=lg${2}^{6n-{n}^{2}}$
=（6n-n²）lg2
=[-（n-3）²+9]lg2，
∴當(dāng)n=3時，T_n的最大值為9lg2．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題、仔細(xì)解答，注意解題方法的積累，屬于中檔題．