Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²，等比數(shù)列{b_n}的前n項和為M_n，且M_n=2ⁿ-t．
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{c_n}中c_2k-1=k•b_k，c_2k=a_2k-1，其中k=1，2，3，…，求數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=n²，得S_n-1=（n-1）²（n≥2），兩式相減可得a_n，注意檢驗n=1時情形；由M_n=2ⁿ-t，得b₁、b₂、b₃，根據(jù)等比中項可得關(guān)于t的方程，解出t可得b_n；
（2）利用分組求和及錯位相減法可求得T_2n．

解答： 解：（1）由S_n=n²，①得S_n-1=（n-1）²，（n≥2）②
①-②得，a_n=2n-1（n≥2）；
又a₁=S₁=1適合上式，
∴a_n=2n-1．
由M_n=2ⁿ-t，得b₁=2-t，b₂=M₂-M₁=2，b₃=M₃-M₂=4，
∵{b_n}為等比數(shù)列，∴2²=4（2-t），
解得t=1，
∴bn=2n-1．
（2）c_2k-1=k•b_k=k•2^k-1，c_2k=a_2k-1=2（2k-1）-1=4k-3，
∴T_2n=（c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+c₆+…+c_2n）
=（1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1）+[1+5+9+…+（4n-3）]
令S=1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1③，
則2S=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ④，
③-④得，-S=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S=（n-1）•2ⁿ+1．
∴T_2n═（n-1）•2ⁿ+1+

n(4n-2)

2

=（n-1）•2ⁿ+1+2n²-n．

點評：該題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列求和，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．