Question

已知函數(shù)．
（1）求證：f（x）+f（2a-x）+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/35874.png' />時(shí)，求證：f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]．

Answer 1

證明：（1）∵f（x）==-1，
∴f（2a-x）=-1=--1，
∴f（x）+f（2a-x）+2=+（-）-2+2=0，與x取值無關(guān)．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）∵f（x）的定義域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/35874.png' />，
∴-1-a≤-x≤-a-，-1≤a-x≤-，-2≤≤-1，
又f（x）=-1，
∴-3≤-1≤-2，即f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]．
分析：（1）由于f（x）=-1，于是可得f（x）+f（2a-x）+2=0，與x取值無關(guān)得證；
（2）由定義域?yàn)閇a+12，a+1]，得，再由f（x）=-1即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，關(guān)鍵在于對(duì)f（x）的化簡(jiǎn)（化為f（x）=-1），難點(diǎn)在于由x的范圍到-x的范圍，再到a-x的范圍，最后到的范圍的探討，屬于難題．