如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AB,E為PD 的中點,O為AC與BD的交點;
①求證:PB∥平面EAC;
②求異面直線BC與PD所成角的大小.
分析:①利用線面平行的判定定理證明.
②利用異面直線所成角的定義求夾角.
解答:解;①證明:連接OE
∵底面ABCD為正方形
∴BO=DO
∴O為BD的中點,E為PD的中點
在△PDB中,OE為中位線,
因為PB∥OE,
OE?面EAC,PB?面EAC,
所以PB∥平面EAC.
②因為AD∥BC,所以AD與PD所成的角即為異面直線BC與PD所成角.
因為PA⊥面ABCD,所以PA⊥AD,
又PA=AB=AD,
所以三角形PDA為等腰直角三角形,
所以∠PDA=45°,即異面直線BC與PD所成角的大小為45°.
點評:本題主要考查直線和平面平行的判定依據(jù)空間異面直線所成的角,要求熟練掌握相關(guān)的定理.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點.求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點F是PB中點.
(Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大。划斊矫鍭BCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點Q的軌跡方程.

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