Question

11．現(xiàn)有一個以O(shè)A、OB為半徑的扇形池塘，在OA、OB上分別取點C、D，作DE∥OA、
CF∥OB交弧AB于點E、F，且BD=AC，現(xiàn)用漁網(wǎng)沿著DE、EO、OF、FC將池塘分成
如圖所示的三種的養(yǎng)殖區(qū)域．若OA=1km，$∠AOB=\frac{π}{2}$，$∠EOF=θ（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．
（1）求區(qū)域Ⅱ的總面積；
（2）若養(yǎng)殖區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分別是15萬元、20萬元、10萬元，記年總收入為y萬元． 試問當(dāng)θ為多少時，年總收入最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式即可求區(qū)域Ⅱ的總面積；
（2）建立三角函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）因為BD=AC，OB=OA，所以O(shè)D=OC．
因為$∠EOF=\frac{π}{2}$，DE∥OA，CF∥OB，
所以DE⊥OB，CF⊥OA．
又因為OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF．
所以$∠DOE=∠COF，∠COF=\frac{1}{2}（\frac{π}{2}-θ）$．  …（2分）
所以$OC=OF•cos∠COF=cos[\frac{1}{2}（\frac{π}{2}-θ）]$．
所以${S_{△COF}}=\frac{1}{2}•OC•OF•sin∠COF=\frac{1}{4}cosθ$，
所以${S_{區(qū)域II}}=\frac{1}{2}cosθ$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$． …（6分）
（2）因為${S_{區(qū)域I}}=\frac{1}{2}θ$，
所以${S_{區(qū)域III}}={S_總}-{S_{區(qū)域I}}-{S_{區(qū)域II}}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}θ-\frac{1}{2}cosθ$．
所以$y=15×\frac{1}{2}θ+20×\frac{1}{2}cosθ+10×（\frac{π}{4}-\frac{1}{2}θ-\frac{1}{2}cosθ）$=$\frac{5}{2}π+\frac{5}{2}θ+5cosθ\;，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，…（10分）
所以$y'=\frac{5}{2}（1-2sinθ）$，
令y'=0，則$θ=\frac{π}{6}$． …（12分）
當(dāng)$0＜θ＜\frac{π}{6}$時，y'＞0，當(dāng)$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$時，y'＜0．
故當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時，y有最大值．
答：當(dāng)θ為$\frac{π}{6}$時，年總收入最大．…（15分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立三角關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．