Question

已知中心在原點(diǎn)的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓過點(diǎn)M(1，

4

3

2

)，N(-

3

2

2

，

2

)；求
（1）離心率e；
（2）橢圓上是否存在P（x，y）到定點(diǎn)A（a，0）（0＜a＜3）距離的最小值為1？若存在求a及P坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的應(yīng)用

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由橢圓過M，N兩點(diǎn)，求出m，n得到橢圓的方程，即得離心率；
（2）設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足條件，根據(jù)橢圓的方程，列出目標(biāo)式|AP|²，求出滿足條件的最值即可．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），
∵橢圓過M，N兩點(diǎn)，
∴

m+ 32 9 n=1 9 2 m+2n=1

，
解得

m= 1 9 n= 1 4

，
∴橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1，
∴離心率為e=

c

a

=

9-4

3

=

5

3

；
（2）設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題設(shè)條件，
由橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

）；
∴|AP|²=（x-a）²+y²
=（x-a）²+4（1-

x2

9

）
=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），
當(dāng)|

9

5

a|≤3，即0＜a≤

5

3

時(shí)，|AP|²的最小值為4-

4

5

a²；
令4-

4

5

a²=1，解得a=±

15

2

∉（0，

5

3

]；
∴

9

5

a＞3，即

5

3

＜a＜3，此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，|AP|²的最小值為（3-a）²；
令（3-a）²=1，解得a=2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，0）；
∴當(dāng)a=2時(shí)，存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，且P點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了求最值問題，解題時(shí)應(yīng)注意靈活運(yùn)用公式解答問題，是中檔題．