Question

【題目】設f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+ ）． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（ ）=0，a=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知，f（x）= sin2x﹣ = sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；
由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[k ，k ]，（k∈Z）；單調(diào)遞減區(qū)間是：[k ，k ]，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA= ，
由題意知A為銳角，所以cosA= ，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得：1+ bc=b2+c2≥2bc，即bc ，且當b=c時等號成立．
因此S= bcsinA≤ ，
所以△ABC面積的最大值為
【解析】（Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換化簡解析式可得f（x）=sin2x﹣ ，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得單調(diào)遞減區(qū)間．（Ⅱ）由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc ，且當b=c時等號成立，從而可求 bcsinA≤ ，從而得解．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用兩角和與差的正弦公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．