Question

13．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₆=64，a_na_n+2=a_n+1²（n∈N^*），把數(shù)列的各項(xiàng)按如下方法進(jìn)行分組：（a₁），（a₂，a₃，a₄），（a₅，a₆，a₇，a₈，a₉），…，記A（m，n）為第m組的第n個(gè)數(shù)（從前到后），則當(dāng)m≥3時(shí)，A（m，1）+A（m，2）+…+A（m，n）的值為${2}^{（m-1）^{2}}$•（2ⁿ⁺¹-2）（用含m的式子表示）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a₁=2，a₆=32，a_na_n+2=a_n+1²，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列
∴a_n=2ⁿ，
則第m-1組的最后一個(gè)數(shù)為${a}_{{（m-1）}^{2}}$=${2}^{（m-1）^{2}}$，
則第m組的第一個(gè)數(shù)${a}_{（m-1）^{2}+1}$=${2}^{（m-1）^{2}+1}$，
則當(dāng)m≥3時(shí)，A（m，1），A（m，2），…A（m，n）構(gòu)成以${a}_{（m-1）^{2}+1}$=${2}^{（m-1）^{2}+1}$為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列，
則當(dāng)m≥3時(shí)，A（m，1）+A（m，2）+…+A（m，n）
=${2}^{（m-1）^{2}+1}$$•\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=${2}^{（m-1）^{2}}$•2×（2ⁿ-1）
=${2}^{（m-1）^{2}}$•（2ⁿ⁺¹-2）．
故答案為：${2}^{（m-1）^{2}}$•（2ⁿ⁺¹-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷數(shù)列是等比數(shù)列以及利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．