Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為，極大值為，無(wú)極小值，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí).函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）求導(dǎo)，求出的解，即可求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；

（2）求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，確定極值，根據(jù)極值的正負(fù)以及零點(diǎn)存在性定理，對(duì)分類(lèi)討論，即可求解.

由題得，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

（1）當(dāng)時(shí)，，

所以，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

所以當(dāng)時(shí)，有極大值，

且極大值為，無(wú)極小值.

（2）由，得.

當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，

又，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以的極大值為

，

①當(dāng)，即得時(shí)，

解得，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；

②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)，即時(shí)，

.

當(dāng)時(shí)，令，

則在上恒成立，

所以，即，

所以，

故當(dāng)且時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，有，

所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí).函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).