Question

8．如圖，PA⊥⊙O面，PA=2，AB為⊙O的直徑，其長為4，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，且∠ADC=120°．
（1）求點C到平面PAB的距離；
（2）當(dāng)D在$\widehat{AC}$上什么位置時，BC∥平面POD；
（3）在（2）的條件下，求二面角D-PC-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB，則CE⊥平面PAB，CE為點C到平面PAB的距離；
（2）當(dāng)D在$\widehat{AC}$上中點位置時，BC∥平面POD．證明BC∥OD即可；
（3）作DM⊥AC于M，過M作MN⊥PC，由三垂線定理得∠MND為二面角D-PC-A的平面角．

解答 解：（1）作CE⊥AB，則CE⊥平面PAB，
∴CE為點C到平面PAB的距離，
連接AC，則AC⊥BC，∠B=60°，
∵AB=4，∴BC=2，
∴CE=$\sqrt{3}$，即點C到平面PAB的距離為$\sqrt{3}$；
（2）當(dāng)D在$\widehat{AC}$上中點位置時，BC∥平面POD．
∵D在$\widehat{AC}$上中點位置時，∠DAB=60°，
∴DC∥AB，DC=AD=$\frac{1}{2}$AB=OB，
∴OBCD是平行四邊形，
∴BC∥OD，
∵BC?平面POD，OD?平面POD，
∴BC∥平面POD；
（3）作DM⊥AC于M，過M作MN⊥PC，由三垂線定理得∠MND為二面角D-PC-A的平面角．
在△MND中，求得tan∠MND=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，
∴二面角D-PC-B的正切值=tan（90°+∠MND）=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．