Question

19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B=$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$=$\frac{2}$，則△ABC的形狀為等邊三角形．

Answer 1

分析 首先利用基本不等式將關(guān)于邊的等式變形得到b²≤ac，在結(jié)合余弦定理得到三邊的關(guān)系，利用前面的關(guān)系得到（a-c）²=0，從而得到a=c．

解答 解：因為$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$=$\frac{2}$=$\frac{a+c}{ac}$$≥\frac{2\sqrt{ac}}{ac}=\frac{2}{\sqrt{ac}}$，所以b$≤\sqrt{ac}$，所以b²≤ac，
又B=$\frac{π}{3}$，得到b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$≤ac，即a²+c²-2ac≤0，分解得（a-c）²≤0，所以a=c，
所以△ABC是等邊三角形；
故答案為：等邊三角形．

點評 本題考查了解三角形；用到了基本不等式余弦定理；解答本題的關(guān)鍵是由邊的等式得到b²≤ac．